Střípek z mechaniky

03.12.2008 22:57 | blackhole

Trocha fyziky neuškodí nikomu :-). A myslím, že i přestože je BH IT web, jsou tu lidé, kteří mají vědy jako matematika a fyzika v genech.

Jsem řešitel jednoho fyzikální semináře. Právě jsem řešil jeden příklad, jehož zadání zní: "Jakub má jízdní kolo s průměrem kola 80 cm. Na tachometru sleduje svou rychlost. Nyní jede rovnoměrně přímočaře rychlostí 20 km/h.

a) Jakou rychlostí se pohybuje nejvyšší bod obvodu kola vzhledem k zemi?
b) Jakou rychlostí se pohybuje nejnižší bod obvodu kola vzhledem k zemi?"

Takže, podle mě, chybí v zadání přesné určení toho bodu, protože se může jednat o dvě situace:
1) Tyto 2 body se pohybují vůči duši -> přestože se pohybuje kolo, tak pořád pozorujeme pouze nejvyšší a nejnižší bod. To by znamenalo, že je to pořád stejné místo vůči zemi. Takže by měli v obou případech 0 rychlost.
2) Tyto dva body budou tečky na vzorku duše, u kterých se bude zjišťovat jejich rychlost v nejnižším a nejvyšším bodě. Začal bych s řešením b). Tento bod už je na zemi, přes něj se převalí kolo -> bod se vůči zemi nehýbe. Kdyby se hýbal, kolo by bylo ve smyku. Pokud by rychlost tohoto bodu byla 20 km/h kolo by se pouze protáčelo a celé kolo by se nehnulo z místa. Teď k a), v nejvyšší pozici má tento bod nejvyšší rychlost vůči zemi (čím větší r, tím větší rychlost). Je snadno dokazatelné, že kolo se točí také 20 km/h. (protože když celý bicykl urazí vzdálenost 1 metru, kolo se také otočí o 1 metr po obvodu (kdyby bicykl urazil cca 2,13 m kolo by se jednou celé otočilo), je jasné, že se jedná o stejný časový úsek -> z toho vyplývá, že rychlosti jsou stejné). A protože bod má rychlost 20 km/h a kolo také, stačí tyto rychlosti sečíst.
Způsob jak toto rychle vyřešit, je pomocí trojúhelníku. Nakreslíme si kolo, označíme ty dva body a střed. Zakreslíme v(středu) = 20 km/h a v(nejnižšího bodu) = 0 km/h, spojíme a dokreslíme průměr kola, který zároveň prochází těmito body). Máme pravoúhlý trojúhelník o jedné neznámé straně. Jednoduchý výpočet. Jeho posunutím bychom mohli jednoduše zjistit i rychlosti při prokluzování kola.

Tato úloha byla problematická ne kvůli výpočtu, ale kvůli tomu jak na ni hledět. Hledat, možnosti, na co koukat. To není fyzika. Nakonec si myslím, že tento příklad vedl k hezkým úvahám :-)

PS: Pokud dostal ještě někdo nějaký nápad, jaké by to mohlo mít řešení, nebo mi tam objevil chybu, rád se to dozvím...

    • Re: Střípek z mechaniky 27.12.2008 | 18:38
      Avatar blackhole   Návštevník

      omg ... nic v zlom ale dufam ze nestudujes fyziku ... podla mna privela rozmyslas. Co by ani nebolo samo o sebe zle. Akurat to ma jeden hacik a sice ten, ze uplne inak ako autor toho zadania :D ... inak vela stastia s tym riesenim. Daj vediet ako si dopadol ... ak to bude dobre budem naozaj prekvapeny.

      • Re: Střípek z mechaniky 27.12.2008 | 21:24
        Avatar kabel   Používateľ

        Tento komentar je asi tak potrebny, ako volske oko pri vypocte urciteho integralu. Nabuduce radsej aj nieco porad, alebo nepis nic.
        ----
        "For everything in nature, there is a balance." - Jor-El of Krypton

    • Re: Střípek z mechaniky 27.12.2008 | 20:14
      Avatar blackhole   Návštevník

      Ad 1)
      Musis rozlisovat medzi priemernou a okamzitou rychlostou.
      Priemerna rychlost kazdeho z bodov na bicykli (kole) je evidentne 20km/h.
      Ale co je tu "zaujimave", je okamzita rychlost danych bodov.

      Ked si zoberes tociaci sa kruh, tak mozes pozorovat, ze vsetky body jeho obvodu sa pohybuju rovnakou (absolutnou) rychlostou. Dokazat to je velmi jednoduche, samozrejme ma kazdy bod rovnaku uhlovu rychlost. Dalej ma kazdy bod aj rovnaku vzdialenost od stredu, a kedze rychlost = uhlova rychlost * polomer, dostanes z toho, ze absolutna rychlost vsetkych bodov rovnako vzdialenych od stredu otacania je rovnaka.

      Potom este treba spomenut fakt, ze vektor rychlosti najvzdialenejsich bodov na kruhu je presne opacny. Tj ak sa spodny bod pohybuje voci stredu "dozadu" rychlostou 237.507km/h, tak sa horny bod pohybuje voci stredu "dopredu" rychlostou 237.507km/h.

      No a konecne: cely bicykel (kolo) sa voci zemi pohybuje priemernou rychlostou 20km/h, stred otacania kolesa sa tiez pohybuje rychlostou 20km/h (konstantne). Dalsi znamy fakt je, ze najnizsi bod kolesa sa (v danom momente, ked je naozaj najnizsim bodom) oproti zemi nepohybuje (inak by bolo koleso v smyku). Z toho nam vyplyva, ze najnizsi bod sa v danom momente pohybuje voci stredu otacania rychlostou -20km/h a z toho zasa vyplyva, ze sa najvyssi bod kolesa pohybuje voci stredu otacania rychlostou +20km/h, ked tuto rychlost pripocitas k rychlosti stredu otacania voci zemi, ziskas rychlost pohybu najvyssieho bodu voci zemi (40km/h).

      BTW Nemyslim si, ze toto je zaujimavy content, jedna sa o velmi jednoduchy priklad, ktoreho celu podstatu by vysvetlil jeden obrazok (pochopil som ale, ze tebe by sa viac zislo taketo vysvetlenie).
      ==
      ˙sǝɹnʇɐǝɟ ɯopuɐɹ sdoןǝʌǝp ʇsnɾ ʇı ˙sƃnq sɐɥ ɹǝʌǝu ǝɹɐʍʇɟos ʎɯ

      • Re: Střípek z mechaniky 27.12.2008 | 21:58
        Avatar kabel   Používateľ

        Ja by som uvazoval takto - zoberiem si lubovolny bod na obvode kolesa a vyjadrim jeho rychlost v danom okamihu vzhladom na zem.
        Koleso ma polomer r = 0.4 m, rychlost bodu na obvode je v = 20 km/h, z toho uhlova rychlost je w = 50000 rad/h = 125/9 rad/s.
        Velkost horizontalnej (vodorovnej) zlozky okamzitej rychlosti bodu na obvode vzhladom na stred kolesa sa vypocita ako sucin velkosti okamzitej rychlosti bodu na obvode (v) a kosinusu uhla, ktory zviera priamka urcena stredom kolesa a danym bodom na obvode s priamkou vertikalnou (kolmou na zem). Tento uhol sa vypocita ako sucin uhlovej rychlosti a casu, ktory presiel od zaciatku - ak predpokladam, ze zaciatok je, ked je dany bod v najvyssom moznom mieste. Uhol

        alfa = w * t.

        Velkost horizontalnej zlozky okamzitej rychlosti bodu na obvode vzhladom na stred kolesa je teda
        vh = v * cos(alfa) = v * cos(w * t),

        kde t je cas, ktory presiel od okamihu, kedy bol dany bod v najvyssom moznom mieste.
        Velkost okamzitej rychlosti bodu na obvode kolesa vzhladom na zem bude teda urcena ako sucet velkosti horizontalnej zlozky okamzitej rychlosti bodu na obvode kolesa vzhladom na stred kolesa a velkosti rychlosti celeho kolesa vzhladom na zem:
        vo = vh + v

        Kedze v najvyssom moznom bode alfa = 0 rad, plati
        vo = v * cos(0) + v = 20 * 1 + 20 = 40 km/h.

        V najnizsom moznom bode alfa = pi rad = 180°, plati
        vo = v * cos(pi) + v = 20 * (-1) + 20 = 0 km/h.

    • Re: Střípek z mechaniky 31.12.2008 | 01:23
      Avatar blackhole   Návštevník

      takže jsem dopadl dobře. všechny úlohy z toho kola mám za plný počet bodů O:-).. včetně této...